Как найти угол наклона: Как рассчитать угол наклона крыши – Как рассчитать угол наклона крыши

теория, примеры, решение задач, угол наклона прямой к оси х

Продолжение темы уравнение прямой на плоскости основывается на изучении прямой линии из уроков алгебры. Данная статья дает обобщенную информацию по теме уравнения прямой с угловым коэффициентом. Рассмотрим определения, получим само уравнение, выявим связь с другими видами уравнений. Все будет рассмотрено на примерах решений задач.

Угол наклона прямой и угловой коэффициент прямой

Перед записью такого уравнения необходимо дать определение угла наклона прямой к оси Ох с их угловым коэффициентом. Допустим, что задана декартова система координат Ох на плоскости.

Определение 1

Угол наклона прямой к оси Ох, расположенный в декартовой системе координат Оху на плоскости, это угол, который отсчитывается от положительного направления Ох к прямой против часовой стрелки.

Угол наклона прямой и угловой коэффициент прямой

Когда прямая параллельна Ох или происходит совпадение в ней, угол наклона равен 0. Тогда угол наклона заданной прямой α определен на промежутке [0, π).

Определение 2

Угловой коэффициент прямой – это тангенс угла наклона заданной прямой.

Стандартное обозначение буквой k. Из определения получим, что k=tg α. Когда прямая параллельна Ох, говорят, что угловой коэффициент не существует, так как он обращается в бесконечность.

Угловой коэффициент положительный, когда график функции возрастает и наоборот. На рисунке показаны различные вариации расположения прямого угла относительно системы координат со значением коэффициента.

Угол наклона прямой и угловой коэффициент прямой

Для нахождения данного угла необходимо применить определение об угловом коэффициенте и произвести вычисление тангенса угла наклона в плоскости.

Пример 1

Посчитать угловой коэффициент прямой при угле наклона равном 120°.

Как найти угол наклона прямой по двум точкам

1 методика:Пример задачи

В некоторых задачах требуется найти угол наклона прямой (если быть точным, то вычисляется тангенс этого угла). Самый простой способ сделать это — подставить координаты двух точек на этой прямой в формулу.

Шаги

  1. 1 Формула для вычисления тангенса угла наклона. Тангенс угла наклона равен отношению изменения координаты «у» к изменению координаты «х».
  2. 2 Возьмите прямую, угол наклона которой необходимо найти.
  3. 3 Выберите любые две точки, которые лежат на этой прямой. Координаты записываются в виде (х,у). Не важно, какие две точки вы выберите. Важно, чтобы они лежали на одной прямой.
  4. 4 Определите точку, которая лежит выше второй точки. Координаты такой точки обозначим как
    x
    2 и y2, а координаты второй точки как x1 и y1.
  5. 5 Подставьте соответствующие координаты в формулу.
  6. 6 Вычтите две координаты «у».
  7. 7 Вычтите две координаты «х».
  8. 8 Разделите полученные результаты. Сократите дробь, если возможно. Сокращенная дробь будет вашим окончательным ответом.
  9. 9 Убедитесь, что ваш ответ правильный.
    • Тангенс угла прямых, идущих слева направо вверх, всегда положителен.
    • Тангенс угла прямых, идущих слева направо вниз, всегда отрицателен.

Пример задачи

  1. 1 Дано: Прямая, проходящая через точки A и B.
  2. 2 Координаты точек: А (3,4), B(6,8).
  3. 3 (y2-y1): 8-4=4; Изменение координаты «у» = 4
  4. 4 (x2-x1): 6-3=3; Изменение координаты «х» = 3
  5. 5 Угол наклона прямой (тангенс угла) = (Изменение координаты «у» / Изменение координаты «х») = 4/3.

Советы

  • Правильно подставляйте координаты точки, лежащей выше на прямой, в формулу. В противном случае вы получите неправильный ответ.
  • Вы нашли «m» в линейном уравнении вида y=mx+b, где «m» – угловой коэффициент, «х» и «у» — координаты, «b» – сдвиг прямой по оси Y.

Предупреждения

  • Не путайте формулу для вычисления угла наклона прямой с другими формулами, например, с формулой для вычисления расстояния, линейным уравнением или формулой для нахождения среднего значения.

Коэффициент наклона прямой

Что такое линейная функция и как выглядит ее график мы подробно разбирали здесь.

В этой статье мы остановимся на том, как находить коэффициент наклона прямой.

Как мы знаем, уравнение прямой имеет вид y=kx+b. В этом уравнении коэффициент при x отвечает за наклон прямой и называется коэффициентом наклона. Он равен тангенсу угла между прямой и положительным направлением оси OX.

Внимание! Не просто между прямой и осью OX, а именно между прямой и положительным направлением оси OX

.

Например, в прямой y=3x-1 коэффициент наклона равен 3, в прямой y=2-5x коэффициент наклона равен -5.

В уравнении прямой y=-1

слагаемое, содержащее x отсутствует, следовательно, коэффициент при x равен нулю. Угол наклона этой прямой к оси OX равен нулю — прямая y=-1 параллельна оси OX
.

 

Если прямая наклонена вправо, то угол между прямой и положительным направлением оси OX — острый, соответственно, тангенс этого угла больше нуля, и коэффициент k>0.

Например:k>0

Здесь k=tg{alpha}=2>0

k=tg{alpha}=2>0

Если прямая наклонена влево, то угол между прямой и положительным направлением оси OX — тупой, соответственно, тангенс этого угла меньше нуля, и коэффициент k<0k=tg{alpha}=2>0:

k<0

Здесь k=tg{alpha}=-3<0.k=tg{alpha}=2>0

Решим две задачи на нахождение коэффициента наклона прямой.

1. Най­ди­те уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент пря­мой, про­хо­дя­щей через точки с ко­ор­ди­на­та­ми (-1;-1) и (1;3).

Решим эту задачу  двумя способами.

А). Так как прямая проходит через точки (-1;-1) и (1;3), координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой y=kx+b

. То есть если мы координаты каждой точки подставим в уравнение прямой, то получим верное равенство. Так как у нас две точки, получаем систему:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{-1=k(-1)+b} {3=k*(1)+b} }}{ }

или

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{-k+b=-1} {k+b=3} }}{ }

Вычтем из второго уравнения первое, и получим 2k=4

, отсюда k=2.

Б). Построим график этой функции. Для этого нанесем данные точки А(-1;-1) и В(1;3) на координатную плоскость и проведем через них прямую:

k=2

Коэффициент k равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси OX, на чертеже это угол alpha

:

alpha

Чтобы найти tg{alpha} рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с вершинами в данных точках.

tg{alpha}

Угол beta прямоугольного треугольника АВС равен углу alpha (соответственные углы, полученный при пересечении параллельных прямых АС и ОХ секущей АВ):

alpha

tg{beta} равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть tg{beta}={BC}/{AC}=4/2=2

Отсюда tg{alpha}=2

2. Най­ди­те уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент пря­мой, про­хо­дя­щей через точки с ко­ор­ди­на­та­ми (4;0) и (0;8).

Решение с помощью системы уравнений абсолютно аналогично решению предыдущей задачи, можете воспроизвести его самостоятельно.

Выполним это задание с помощью графика.

Нанесем данные токи на координатную плоскость и проведем через них прямую:

tg{alpha}=2Угол между прямой и положительным направлением оси ОХ — это угол alpha:

alpha

Коэффициент наклона прямой  k=tg{alpha}. Чтобы найти tg{alpha}, построим прямоугольный треугольник ВОА: tg{alpha}

В этом прямоугольном треугольнике угол  alpha  — внешний. Мы можем найти тангенс внутреннего угла  beta.  tg{alpha}=-tg{beta}.

tg{beta}={OB}/{OA}=8/4=2. Отсюда  k=tg{alpha}=-tg{beta}=-2.

Еще раз! Если прямая наклонена влево, то коэффициент наклона прямой отрицательный.

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

k=tg{alpha}=-tg{beta}=-2

Угловой коэффициент — Википедия

Угловой коэффициент: k=ΔyΔx=tgθ{\displaystyle k={\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\mathrm {tg} \,\theta }

Угловой коэффициент прямой — коэффициент k{\displaystyle k} в уравнении y=kx+b{\displaystyle y=kx+b} прямой на координатной плоскости, численно равен тангенсу угла (составляющего наименьший поворот от оси Ox к оси Оу) между положительным направлением оси абсцисс и данной прямой.[1]

Тангенс угла может рассчитываться как отношение противолежащего катета к прилежащему. k всегда равен ΔyΔx{\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}}, то есть производной уравнения прямой по x.

Угловой коэффициент не существует (иногда формально говорят «обращается в бесконечность») для прямых, параллельных оси Oy.

При положительных значениях углового коэффициента k и нулевом значении коэффициента сдвига b прямая будет лежать в первом и третьем квадрантах (в которых x и y одновременно положительны и отрицательны). При этом большим значениям углового коэффициента k будет соответствовать более крутая прямая, а меньшим — более пологая.

Прямые y=k1x+b1{\displaystyle y=k_{1}x+b_{1}} и y=k2x+b2{\displaystyle y=k_{2}x+b_{2}} перпендикулярны, если k1k2=−1{\displaystyle k_{1}k_{2}=-1}, а параллельны при k1=k2{\displaystyle k_{1}=k_{2}}.

  1. ↑ Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.

Определение уклонов и углов наклона — Мегаобучалка

Отрезки линий на земной поверхности обычно имеют наклон, отчего начало и конец отрезка находятся на разных высотах. Разность их высот – превышение, а проекция отрезка на горизонтальную плоскость – его горизонтальное проложение.

Уклоном i линии называется отношение превышения h к горизонтальному проложению d:

i = h / d. (4.2)

Для определения по карте уклона линии на участке KL между двумя горизонталями (рис. 4.7) измеряют его горизонтальное проложение – заложение d. Поскольку концы отрезка лежат на смежных горизонталях, превышение hмежду ними равно высоте сечения рельефа, подписанному под южной рамкой карты. Воспользовавшись формулой (4.2), вычисляют уклон, который принято выражать в тысячных. Если, например, h=1 м, d=48 м , то уклон равен i =1 м / 48 м = 0,021=21‰.

  Рис. 4.7. Определение высоты точки M и уклона на отрезке KL

С другой стороны, отношение превышения h к горизонтальному проложению d равно тангенсу угла n наклона линии. Поэтому

i = tg n,

что позволяет, вычислив уклон определить по нему угол наклона.

При пользовании картой углы наклона не вычисляют, а определяют с помощью графика заложений (рис. 4.8), расположенного под южной рамкой карты. По горизонтальной оси графика отложены углы наклона, а по вертикальной — соответствующие этим углам заложения d, выраженные в масштабе карты и рассчитанные по формуле

d = h ¤ (M tg n),

где h — высота сечения рельефа, а M – знаменатель масштаба карты.

  Рис. 4.8. График заложений

 

 

Для определения угла наклона отрезка KL (рис. 4.7), расположенного между горизонталями, берут его в раствор циркуля и на графике заложений (рис. 4.8) находят такой угол, над которым ордината равна раствору циркуля d. Это и есть искомый угол наклона.

При необходимости многократного определения уклонов пользуются графиком уклонов, построенным аналогично графику заложений, но с отложением по горизонтальной оси не углов наклона, а уклонов.

 

Проведение линии с уклоном, не превышающим заданного предельного. Необходимость решения такой задачи возникает, например, при выборе трассы для будущей дороги. Вычисляют соответствующее заданному предельному уклону iпр заложение, выраженное в масштабе карты, (здесь M – знаменатель масштаба). .



Рис. 4.9. Построение линии с заданным уклоном Рис. 4.10. Водосборная площадь

Чтобы уклон линии не превосходил iпр, ни одно заложение на ней не должно быть меньше, чем рассчитанное d. Если расстояние между горизонталями больше рассчитанного, направление линии можно выбирать произвольно. В противном случае в раствор циркуля берут отрезок, равный d, и строят ломаную линию, умещая между горизонталями рассчитанное предельное заложение (рис. 4.9).

 

12. Абсолютные, условные, относительные высоты точек.
Возьмём на поверхности земли 2 точки А и В.
Расстояние по вертикали от уровенной поверхности до заданной точки земной поверхности — абсолютная высота точки (Н). Не всегда нужно искать абсолютную высоту, можно взять условную поверхность – расстояние от условной отсчётной поверхности до заданной точки. Расстояние по вертикали между двумя смежными точками – относительная высота (превышение). Высота точки, выраженная числом – отметка. НА – 120,375 м. За уровенную поверхность принята среднее положение уровня Балтийского моря.

Балтийская система высот – принятая в России и ряде других стран СНГ система система абсолютных высот, отсчет которых ведется от нуля Кронштадтского футштока. От этой отметки отсчитаны высоты опорных геодезических пунктов, которые обозначены на местности разными геодезическими знаками и нанесены на карты.

Балтийская система высот была принята в 1977 году в СССР.

Превышение (топографическое превышение) — понятие в классификации относительных высот гор, являющееся одним из главных критериев позволяющих считать вершины независимыми горами. Превышение вершины — это высота этой вершины относительно самой низкой точки на кривой, проведенной по наиболее высокому водоразделу от этой вершины к первой более высокой вершине на этом водоразделе, называемой родительской горой.

 

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о