теория, примеры, решение задач, угол наклона прямой к оси х
Продолжение темы уравнение прямой на плоскости основывается на изучении прямой линии из уроков алгебры. Данная статья дает обобщенную информацию по теме уравнения прямой с угловым коэффициентом. Рассмотрим определения, получим само уравнение, выявим связь с другими видами уравнений. Все будет рассмотрено на примерах решений задач.
Угол наклона прямой и угловой коэффициент прямой
Перед записью такого уравнения необходимо дать определение угла наклона прямой к оси Ох с их угловым коэффициентом. Допустим, что задана декартова система координат Ох на плоскости.
Определение 1Угол наклона прямой к оси Ох, расположенный в декартовой системе координат Оху на плоскости, это угол, который отсчитывается от положительного направления Ох к прямой против часовой стрелки.
Когда прямая параллельна Ох или происходит совпадение в ней, угол наклона равен 0. Тогда угол наклона заданной прямой α определен на промежутке [0, π).
Угловой коэффициент прямой – это тангенс угла наклона заданной прямой.
Стандартное обозначение буквой k. Из определения получим, что k=tg α. Когда прямая параллельна Ох, говорят, что угловой коэффициент не существует, так как он обращается в бесконечность.
Угловой коэффициент положительный, когда график функции возрастает и наоборот. На рисунке показаны различные вариации расположения прямого угла относительно системы координат со значением коэффициента.
Для нахождения данного угла необходимо применить определение об угловом коэффициенте и произвести вычисление тангенса угла наклона в плоскости.
Пример 1Как найти угол наклона прямой по двум точкам
1 методика:Пример задачи В некоторых задачах требуется найти угол наклона прямой (если быть точным, то вычисляется тангенс этого угла). Самый простой способ сделать это — подставить координаты двух точек на этой прямой в формулу. Шаги
Пример задачи
Советы
Предупреждения
|
Коэффициент наклона прямой
Что такое линейная функция и как выглядит ее график мы подробно разбирали здесь.
В этой статье мы остановимся на том, как находить коэффициент наклона прямой.
Как мы знаем, уравнение прямой имеет вид . В этом уравнении коэффициент при отвечает за наклон прямой и называется коэффициентом наклона. Он равен тангенсу угла между прямой и положительным направлением оси .
Внимание! Не просто между прямой и осью , а именно между прямой и положительным направлением оси
Например, в прямой коэффициент наклона равен , в прямой коэффициент наклона равен .
В уравнении прямой
Если прямая наклонена вправо, то угол между прямой и положительным направлением оси — острый, соответственно, тангенс этого угла больше нуля, и коэффициент .
Например:
Здесь
Если прямая наклонена влево, то угол между прямой и положительным направлением оси — тупой, соответственно, тангенс этого угла меньше нуля, и коэффициент :
Здесь .
Решим две задачи на нахождение коэффициента наклона прямой.
1. Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (-1;-1) и (1;3).
Решим эту задачу двумя способами.
А). Так как прямая проходит через точки (-1;-1) и (1;3), координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой
или
Вычтем из второго уравнения первое, и получим
Б). Построим график этой функции. Для этого нанесем данные точки А(-1;-1) и В(1;3) на координатную плоскость и проведем через них прямую:
Коэффициент равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси , на чертеже это угол
Чтобы найти рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с вершинами в данных точках.
Угол прямоугольного треугольника АВС равен углу (соответственные углы, полученный при пересечении параллельных прямых АС и ОХ секущей АВ):
равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть
Отсюда
2. Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (4;0) и (0;8).
Решение с помощью системы уравнений абсолютно аналогично решению предыдущей задачи, можете воспроизвести его самостоятельно.
Выполним это задание с помощью графика.
Нанесем данные токи на координатную плоскость и проведем через них прямую:
Угол между прямой и положительным направлением оси ОХ — это угол :
Коэффициент наклона прямой . Чтобы найти , построим прямоугольный треугольник ВОА:
В этом прямоугольном треугольнике угол — внешний. Мы можем найти тангенс внутреннего угла . .
. Отсюда .
Еще раз! Если прямая наклонена влево, то коэффициент наклона прямой отрицательный.
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Угловой коэффициент — Википедия
Угловой коэффициент прямой — коэффициент k{\displaystyle k} в уравнении y=kx+b{\displaystyle y=kx+b} прямой на координатной плоскости, численно равен тангенсу угла (составляющего наименьший поворот от оси Ox к оси Оу) между положительным направлением оси абсцисс и данной прямой.[1]
Тангенс угла может рассчитываться как отношение противолежащего катета к прилежащему. k всегда равен ΔyΔx{\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}}, то есть производной уравнения прямой по x.
Угловой коэффициент не существует (иногда формально говорят «обращается в бесконечность») для прямых, параллельных оси Oy.
При положительных значениях углового коэффициента k и нулевом значении коэффициента сдвига b прямая будет лежать в первом и третьем квадрантах (в которых x и y одновременно положительны и отрицательны). При этом большим значениям углового коэффициента k будет соответствовать более крутая прямая, а меньшим — более пологая.
Прямые y=k1x+b1{\displaystyle y=k_{1}x+b_{1}} и y=k2x+b2{\displaystyle y=k_{2}x+b_{2}} перпендикулярны, если k1k2=−1{\displaystyle k_{1}k_{2}=-1}, а параллельны при k1=k2{\displaystyle k_{1}=k_{2}}.
- ↑ Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
Определение уклонов и углов наклона — Мегаобучалка
Отрезки линий на земной поверхности обычно имеют наклон, отчего начало и конец отрезка находятся на разных высотах. Разность их высот – превышение, а проекция отрезка на горизонтальную плоскость – его горизонтальное проложение.
Уклоном i линии называется отношение превышения h к горизонтальному проложению d:
i = h / d. (4.2)
Для определения по карте уклона линии на участке KL между двумя горизонталями (рис. 4.7) измеряют его горизонтальное проложение – заложение d. Поскольку концы отрезка лежат на смежных горизонталях, превышение hмежду ними равно высоте сечения рельефа, подписанному под южной рамкой карты. Воспользовавшись формулой (4.2), вычисляют уклон, который принято выражать в тысячных. Если, например, h=1 м, d=48 м , то уклон равен i =1 м / 48 м = 0,021=21‰.
Рис. 4.7. Определение высоты точки M и уклона на отрезке KL |
С другой стороны, отношение превышения h к горизонтальному проложению d равно тангенсу угла n наклона линии. Поэтому
i = tg n,
что позволяет, вычислив уклон определить по нему угол наклона.
При пользовании картой углы наклона не вычисляют, а определяют с помощью графика заложений (рис. 4.8), расположенного под южной рамкой карты. По горизонтальной оси графика отложены углы наклона, а по вертикальной — соответствующие этим углам заложения d, выраженные в масштабе карты и рассчитанные по формуле
d = h ¤ (M tg n),
где h — высота сечения рельефа, а M – знаменатель масштаба карты.
Рис. 4.8. График заложений |
Для определения угла наклона отрезка KL (рис. 4.7), расположенного между горизонталями, берут его в раствор циркуля и на графике заложений (рис. 4.8) находят такой угол, над которым ордината равна раствору циркуля d. Это и есть искомый угол наклона.
При необходимости многократного определения уклонов пользуются графиком уклонов, построенным аналогично графику заложений, но с отложением по горизонтальной оси не углов наклона, а уклонов.
Проведение линии с уклоном, не превышающим заданного предельного. Необходимость решения такой задачи возникает, например, при выборе трассы для будущей дороги. Вычисляют соответствующее заданному предельному уклону iпр заложение, выраженное в масштабе карты, (здесь M – знаменатель масштаба). .
Рис. 4.9. Построение линии с заданным уклоном | Рис. 4.10. Водосборная площадь |
Чтобы уклон линии не превосходил iпр, ни одно заложение на ней не должно быть меньше, чем рассчитанное d. Если расстояние между горизонталями больше рассчитанного, направление линии можно выбирать произвольно. В противном случае в раствор циркуля берут отрезок, равный d, и строят ломаную линию, умещая между горизонталями рассчитанное предельное заложение (рис. 4.9).
12. Абсолютные, условные, относительные высоты точек.
Возьмём на поверхности земли 2 точки А и В.
Расстояние по вертикали от уровенной поверхности до заданной точки земной поверхности — абсолютная высота точки (Н). Не всегда нужно искать абсолютную высоту, можно взять условную поверхность – расстояние от условной отсчётной поверхности до заданной точки. Расстояние по вертикали между двумя смежными точками – относительная высота (превышение). Высота точки, выраженная числом – отметка. НА – 120,375 м. За уровенную поверхность принята среднее положение уровня Балтийского моря.
Балтийская система высот – принятая в России и ряде других стран СНГ система система абсолютных высот, отсчет которых ведется от нуля Кронштадтского футштока. От этой отметки отсчитаны высоты опорных геодезических пунктов, которые обозначены на местности разными геодезическими знаками и нанесены на карты.
Балтийская система высот была принята в 1977 году в СССР.
Превышение (топографическое превышение) — понятие в классификации относительных высот гор, являющееся одним из главных критериев позволяющих считать вершины независимыми горами. Превышение вершины — это высота этой вершины относительно самой низкой точки на кривой, проведенной по наиболее высокому водоразделу от этой вершины к первой более высокой вершине на этом водоразделе, называемой родительской горой.
Отправить ответ